题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,若函数
在
,
(
)处导数相等,证明:
;
(2)是否存在,使直线
是曲线
的切线,也是曲线
的切线,而且这样的直线
是唯一的,如果存在,求出直线
方程,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)存在,
【解析】
(1)求导,则
,化简得到
,再利用均值不等式到答案.
(2)先设切点求切线方程,再根据切线重合得关于一个切点横坐标的函数,利用导数研究函数只有一个零点的情况,即得答案.
(1)当时,
,所以
,
由题意,得,因为
,所以
,
所以,所以
,
所以.
(2)曲线在点
处的切线方程为:
,
函数在点
处的切线方程
,
要存在直线,使
是曲线
的切线,也是曲线
的切线,
只需在处使
与
重合,
所以
由①得代入②整理得
,
设,
则,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
则,设
,
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以.
(ⅰ)当时,
,所以
,
此时,所以方程
有唯一解
,
即,此时切线方程为
;
(ⅱ)当且
时,
,
当时,
,则
,
故函数单调递增,当
时,函数单调递减,故
,
故,同理可证
,
成立.
因为,则
.
又由当时,
,可得
,
则,
所以函数有两个零点,
即方程有两个根
,
,
即,此时
,
,则
,
所以,
因为,
,所以
,所以直线
不唯一.
综上所述,存在,使
是曲线
的切线,也是曲线
的切线,而且这样的直线
是唯一的.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】1772年德国的天文学家波得发现了求太阳的行星距离的法则,记地球距离太阳的平均距离为10,可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表:
星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
与太阳的距离 | 4 | 7 | 10 | 16 | 52 | 100 |
除水星外,其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律),当时德国数学家高斯根据此定则推算,火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星,1801年,意大利天文学家皮亚齐经过观测,果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带,请你根据这个定则,估算从水星开始由近到远算,第10个行星与太阳的平均距离大约是( )
A.388B.772C.1540D.3076