题目内容
【题目】已知在四棱锥
中，
，
，
是
的中点，
是等边三角形，平面
平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取
的中点为
，连结
，
，
，设交
于
，连结
.证明
，
，即可证
平面
；（2）取
的中点为
，以为空间坐标原点，分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.设
，利用向量法求二面角
的余弦值.
（1）证明：取的中点为，连结，，，设交于，连结.
因为
，
，
四边形
与四边形
均为菱形，
，
，
，
因为
为等边三角形，为中点，
，
因为平面
平面
，且平面
平面
.
平面
且
，
平面
因为
平面，
，
因为H，
分别为， 
的中点，
，
.
又因为
，
平面，
平面.
（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则
，
，
，
，
，
，
设平面
的一法向量
.
由
.令
，则
.
由（1）可知，平面
的一个法向量
，
二面角的平面角的余弦值为.
【题目】中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：
方案：由三部分组成
（表一）
底薪 | 150元 |
工作时间 | 6元/小时 |
行走路程 | 11元/公里 |
方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：
（表二）
行走路程 （公里） |
|
|
|
|
|
人数 | 5 | 10 | 15 | 45 | 25 |
（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资
（单位：元）与日行走路程
（单位：公里）
的函数关系
（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从
，
共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；
②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？
