题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数在
上的单调性,并证明;
(2)若恒成立,求
的最小值;
(3)记,求集合
中正整数的个数;
【答案】(1)单调递增,证明见解析(2)4(3)见解析
【解析】
(1)去掉绝对值符号后由二次函数性质可得,并按定义证明;
(2)直接代入解析式.不等式为二次不等式,由一元二次不等式恒成立可得;
(3)求出和
,利用二项式定理确定
除以3所得余数,从而可确定怎样计算
上正整数个数.
(1)在
单调递增
证明:任取
∵,∴
,
又,则
则,则
单调递增.
(2)由恒成立可得
恒成立,且
∴恒成立,
∴,解得:
所以,的最小值为4.
(3),
则时,区间为
,正整数个数为0,
时,∵
为偶数时,
;
为奇数时,
;
而同奇偶,
同奇偶
①为偶数时,正整数个数为:
②为奇数时(
)
正整数个数为:.
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