题目内容
【题目】已知函数
（
）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数
的取值范围；
（2）若
有两个不同的极值点
，
，且
，若不等式
恒成立.求正实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求导得到
有两个不相等实根，令
，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）
，
是方程
的两根，故
，化简得到
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.
（1）由题可知
有两个不相等的实根，
即：有两个不相等实根，令，
，
，
，
；
，
，
故
在
上单增，在
上单减，∴
.
又
，
时，
；
时，
，
∴
，即
.
（2）由（1）知，，是方程的两根，
∴
，则
因为在单减，∴
，又
，∴
即
，两边取对数，并整理得：
对
恒成立，
设
，
，
，
当时，
对恒成立，
∴
在
上单增，故
恒成立，符合题意；
当
时，
，
时
，
∴在
上单减，
，不符合题意.
综上，.
练习册系列答案
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【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI |
|
|
|
|
|
|
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
