题目内容
【题目】(题文)如图,长方形材料中,已知
,
.点
为材料
内部一点,
于
,
于
,且
,
. 现要在长方形材料
中裁剪出四边形材料
,满足
,点
、
分别在边
,
上.
(1)设,试将四边形材料
的面积表示为
的函数,并指明
的取值范围;
(2)试确定点在
上的位置,使得四边形材料
的面积
最小,并求出其最小值.
【答案】(1)见解析;(2)当时,四边形材料
的面积
最小,最小值为
.
【解析】分析:(1)通过直角三角形的边角关系,得出和
,进而得出四边形材料
的面积的表达式,再结合已知尺寸条件,确定角
的范围.
(2)根据正切的两角差公式和换元法,化简和整理函数表达式,最后由基本不等式,确定面积最小值及对应的点在
上的位置.
详解:解:(1)在直角中,因为
,
,
所以,
所以,
在直角中,因为
,
,
所以,
所以,
所以
,
.
(2)因为
,
令,由
,得
,
所以
,
当且仅当时,即
时等号成立,
此时,,
,
答:当时,四边形材料
的面积
最小,最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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