Question

设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又，
（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）奇函数（3）见解析

（1）取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；
且存在常数使得f(a)=tana=1；
又由两角差的正切公式知，符合。                         ……4分
（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x₁=0，x₂=x，由，
得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；                                                         ……4分
（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f(x)的一个周期。
证明：由已知，则
，
。
所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。                                                 ……7分