Question

4．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-x）=sinx，则f（$\frac{π}{12}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 将x换成$\frac{π}{2}$-x，由函数方程法，可得f（x）的解析式，再由两角差的正弦公式，代入由特殊角的函数值，即可得到．

解答 解：由f（x）+$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-x）=sinx，①
可得f（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx，②
由①②可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosx-sinx}{2}$=sin$\frac{π}{3}$cosx-cos$\frac{π}{3}$sinx
=sin（$\frac{π}{3}$-x），
则f（$\frac{π}{12}$）=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查函数的解析式的求法：函数方程法，同时考查三角函数的求值，注意运用两角和差的正弦公式，属于中档题．