题目内容

9.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点的切线相交于P,则S△PABmin=(  )
A.16B.8C.4D.2

分析 求出抛物线的焦点,两边对x求导,可得切线的斜率,讨论AB斜率不存在,求得切线斜率,即可判断量切线垂直;再设AB:y=k(x-1),(k≠0),联立y2=4x,消去x,运用韦达定理,结合切线公式,由直线垂直的条件也可判断AP⊥BP,由此结合抛物线的几何性质可知P在抛物线的准线上,设出直线AB与抛物线对称轴的夹角,然后把三角形PAB的面积用含有夹角的代数式表示,利用三角函数求得最值.

解答 解:抛物线y2=4x焦点为(1,0),
设抛物线y2=4x的点(m,n),
由2yy′=4,即有y′=$\frac{2}{y}$,
即切线的方程为y-n=$\frac{2}{n}$(x-m),
由于n2=4m,即有ny=2(m+x).
若直线l:x=1,则交点A(1,2),B(1.-2),
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-(x-1),
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形;
若直线AB的斜率为k,即有AB:y=k(x-1),(k≠0),
联立y2=4x,消去x,可得$\frac{k}{4}$y2-y-k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4.
则有切线的斜率为$\frac{2}{{y}_{1}},\frac{2}{{y}_{2}}$,
且$\frac{2}{{y}_{1}}•\frac{2}{{y}_{2}}=\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}=-1$,
即有PA⊥PB,则△ABP为直角三角形.
∴由抛物线的几何性质可得,过A,B两点的切线的交点P在抛物线的准线上,
设直线AB与x轴的夹角为θ,由抛物线的性质可得:|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$.
且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴,设AB中点为M,
则|PM|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{p}{si{n}^{2}θ}$.
P到AB的距离为|PM|sinθ=$\frac{p}{sinθ}$.
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$|AB|$•\frac{p}{sinθ}$=$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{3}θ}$.
当sinθ=1时,△ABQ的面积有最小值,最小值为p2=4.
故选:C.

点评 本题考查导数的几何意义:曲线在该点处的切线的斜率,考查直线和抛物线的位置关系,注意运用两直线垂直的条件是解题的关键,是中档题.

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