题目内容

(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(ab>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设AB是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
(Ⅰ) ().  (Ⅱ) S(a)的值域为(0,) (Ⅲ)S(a)}
(1)将y=代入椭圆方程,得化简,得b2x4a2b2x2+a2=0
由条件,有Δ=a4b4–4a2b2=0,得ab=2解得x=x=–(舍去)
P的坐标为().
(2)∵在△ABP中,|AB|=2,高为,∴
ab>0,b=a,即a,得0<<1
于是0<Sa)<,故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)
(3)g(a)=c2=a2b2=a2解不等式g(a)≥S(a),即a2
整理,得a8–10a4+24≥0,即(a4–4)(a4–6)≥0
解得a(舍去)或a.故f(a)=min{g(a), S(a)}
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