题目内容
设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量
，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．见解析
解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8 ∴点M的轨迹C为F1、F2为焦点的椭圆，其方程为
（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时
。
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2)
由
恒成立．
且
∵
，∴四边形OAPB是平行四边形
若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即
∵
即
∴存在直线
使得四边形OAPB为矩形．
（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时
。∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2)
由
恒成立．且
∵
，∴四边形OAPB是平行四边形若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即
∵
即
∴存在直线使得四边形OAPB为矩形．
练习册系列答案
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，
，则
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