题目内容

【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,CB=CD,AD=DB,P,Q分别在线段AB,AC上,AP=3PB,AQ=2QC,M是BD的中点.
(Ⅰ)证明:DQ∥平面CPM;
(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D的大小为 ,求∠BDC的正切值.

【答案】证明:(Ⅰ)取AB的中点E,
,所以EQ∥PC.
又EQ平面CPM,所以EQ∥平面CPM.
又PM是△BDE的中位线,所以DE∥PM,
从而DE∥平面CPM.
所以平面DEQ∥平面CPM,
故DQ∥平面CPM.
解:(Ⅱ)解法1:由AD⊥平面BCD知,AD⊥CM
由BC=CD,BM=MD,知BD⊥CM,
故CM⊥平面ABD.
由(Ⅰ)知DE∥PM,而DE⊥AB,故PM⊥AB.
所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角,

设PM=a,则
在Rt△CMD中,
所以∠BDC的正切值为
解法2:以M为坐标原点,MC,MD,ME所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.

设MC=a,MD=b,则C(a,0,0),B(0,﹣b,0),A(0,b,2b)

平面ABC的一个法向量,

平面ABD的一个法向量为
所以 ,所以
在Rt△CMD中,
所以∠BDC的正切值为
【解析】(Ⅰ)取AB的中点E,则EQ∥PC,从而EQ∥平面CPM,由中位线定理得DE∥PM,从而DE∥平面CPM,进而平面DEQ∥平面CPM,由此能证明DQ∥平面CPM.(Ⅱ)法1:推导出AD⊥CM,BD⊥CM,从而CM⊥平面ABD,进而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角,由此能求出∠BDC的正切值.法2:以M为坐标原点,MC,MD,ME所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出∠BDC的正切值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.

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