题目内容
【题目】已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ 
）
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．
【答案】
（1）解：f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ 
）
= （log2x）2﹣ 
log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ 
，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t= 时，ymin=﹣ ，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[﹣ ，0]
（2）解：令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜ t+ 
﹣ 对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，
∴g（t）= t+ ﹣ = （t+ 
）﹣ ，
∵g（t）= t+ ﹣ 在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，
∴m＜0．
【解析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）= （log2x）2﹣ log2x+1，2≤x≤4，令t=log2x，则y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ ，由此能求出函数的值域．（2）令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m＜ t+ ﹣ 对于t∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．
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