Question

4．设函数f（x）=cos²（$\frac{π}{2}+x$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间，并求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值；
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+f（-A）=$\frac{3}{2}$，b+c=7，三角形ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）运用诱导公式．二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；根据函数的单调性得到最小值，
（2）先求出A的度数，再根据三角形的面积公式，余弦定理即可求出a的值．

解答 解：（1）f（x）=cos²（$\frac{π}{2}+x$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（π+2x）]+$\sqrt{3}$cosxsinx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{6}$）单调递减，在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]单调递增，
∴当x=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）有最小值，即f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
（2）∵f（A）+f（-A）=$\frac{3}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+sin（-2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）-sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos2A=-$\frac{1}{2}$，
∵A为锐角
∴2A=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由三角形的面积公式得到，S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=2$\sqrt{3}$，
∴bc=8，
由余弦定理可得，
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7²-3×8=25，
∴a=5．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调性和值域的运用，正弦定理与余弦定理是解三角形最常用的工具，熟练掌握基本公式并能灵活应用是解题的关键，属于中档题．