题目内容

9．如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．

（1）猜想：圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成多少条线段？
（2）记在圆内画n条线段，将圆最多分割成an部分，归纳出an+1与an的关系．
（3）猜想数列{an}的通项公式，根据an+1与an的关系及数列的知识，证明你的猜想是否成立．

分析 （1）通过前几项的值即可得出结论；
（2）通过前几项的值即可得出结论；
（3）通过（2）、利用叠加法，计算即得结论．

解答 解：（1）彼此最多分割成n2条线段；
（2）依题意，a2-a1=4-2=2，
a3-a2=7-4=3，
a4-a3=11-7=4，
∴归纳出关系：an+1-an=n+1；
（3）猜想：an=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．
证明如下：
∵a2-a1=4-2=2，
a3-a2=7-4=3，
a4-a3=11-7=4，
…
an-an-1=n，
累加得：an-a1=2+3+…+n=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$，
∴an=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+a1
=$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2
=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

点评 本题考查数列的应用，考查归纳推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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14．已知t＞0，若${∫}_{0}^{t}$（2x-2）dx=8，则t=（　　）
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18．“φ=$\frac{π}{2}$，”是“曲线y=cos（2x+φ）”过原点的（　　）
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