Question

16．设{a_n}是首项为1的正项数列，且$（{n+1}）a_{n+1}^2-na_n^2+{a_{n+1}}{a_n}=0$（n=1，2，3，…），则它的通项公式是a₁₀₀=（　　）

• A． 100
• B． $\frac{1}{100}$
• C． 101
• D． $\frac{1}{101}$

Answer 1

分析 通过在$（{n+1}）a_{n+1}^2-na_n^2+{a_{n+1}}{a_n}=0$中将a_n+1看成是未知数、a_n与n看出常数，利用求根公式、化简可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，进而利用累乘法可得到数列的通项a_n，计算即得结论

解答 解：∵$（{n+1}）a_{n+1}^2-na_n^2+{a_{n+1}}{a_n}=0$，
∴（n+1）${{a}_{n+1}}^{2}$+a_na_n+1-n${{a}_{n}}^{2}$=0，
∴a_n+1=$\frac{-{a}_{n}±\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+4（n+1）•n•{{a}_{n}}^{2}}}{2（n+1）}$
=$\frac{-1±\sqrt{1+4n（n-1）}}{2（n+1）}•$a_n，
又∵a_n＞0，∴a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•…•$\frac{n-1}{n}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1，∴a_n=$\frac{1}{n}$，
∴a₁₀₀=$\frac{1}{100}$，
故选：B．

点评 本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法有：公式法、累加法、累乘法、构造法等，注意解题方法的积累，属于中档题．