题目内容
【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若,求证:
.
【答案】(1)当时,极大值
,当
时,极小值
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先求出导函数,将
代入,求出
的正负,从而确定函数的单调区间,再根据极值的定义即可求解.
(2)由(1)知,当,
时,可得
,即
,构造
,利用导数可得函数
在
上单调递增,即
,证出
,进而证出不等式.
(1)因为,
所以当时,
,
因为当时,
;
当时,
;
当时,
;
所以函数在
和
上单调递增,在
上单调递减,
所以当时,函数有极大值
,
当时,函数有极小值
.
(2)由(1)知,当,
时,
函数在
时取得极小值,即最小值
,
所以,化简可得
,
令,则
,
所以函数在
上单调递增,
所以,所以
,
从而可得,
因为不等式的两个等号不同时成立,所以.
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