题目内容
【题目】如图,四边形为正方形,四边形
为矩形,且平面
与平面
互相垂直.若多面体
的体积为
,则该多面体外接球表面积的最小值为( )
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
根据题意,设出正方形边长和矩形的高,根据体积公式,求得等量关系;再找到球心,求得半径,利用导数求函数的最小值,则问题得解.
根据题意,连接交于
点,过
作
//
交
于
点,交
于
,连接
.
因为四边形是正方形,故可得
,
又因为平面平面
,且交线为
,又
平面
,故
平面
,
不妨设,
故可得多面体的体积
;
则,解得
;
又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上,且为
的中点
,
设外接球半径为,则
;
将代入可得
,不妨令
,
则,则
,容易知
是关于
的单调增函数,
且当时,
,故可得
在
上单调递减,在
单调递减.
故.
则外接球表面积的最小值.
故选:B.
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