题目内容
【题目】如图，四边形
为正方形，四边形
为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体
的体积为
，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得
等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.
根据题意，连接
交于
点，过作
//
交
于
点，交
于
，连接
.
因为四边形
是正方形，故可得
，
又因为平面
平面
，且交线为
，又
平面，故
平面，
不妨设
，
故可得多面体
的体积
；
则
，解得
；
又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，
设外接球半径为
，则
；
将代入可得
，不妨令
，
则
，则
，容易知
是关于
的单调增函数，
且当
时，
，故可得在
上单调递减，在
单调递减.
故
.
则外接球表面积的最小值
.
故选：B.
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