题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为.(为参数)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标和 l的直角坐标方程;
(2)把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线,为上动点,求中点到直线距离的最小值.
【答案】(1)的直角坐标:,l的直角坐标方程:.(2)
【解析】
(1)根据极坐标和直角坐标的转化公式,即可容易求得结果;
(2)设出点坐标的参数形式,将问题转化为求三角函数最值的问题,即可求得.
(1)因为点的极坐标为,
直线的极坐标方程为,
由,
得点的直角坐标为,
直线的直角坐标方程为.
(2)设,则由条件知点在曲线上,所以
,即,
又因为为中点,所以,
则点到直线距离为,
当时,取得最小值,
故中点到直线距离的最小值为.
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