题目内容
【题目】线段AB为圆的一条直径,其端点A,B在抛物线
上,且A,B两点到抛物线C焦点的距离之和为11.
(1)求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程;
(2)过M点的直线l交抛物线C于P,Q两点,抛物线C在P,Q处的切线相交于N点,求面积的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)利用抛物线的定义可求出,再利用点差法求出直线
的斜率,结合直线
过圆心
,利用点斜式即可求出直线
的方程:
(2)不妨设,
,
,
,
,
,直线
的方程为
,与抛物线方程联立,利用韦达定理和弦长公式可求出
,再利用导数的几何意义求出抛物线
在
,
的切线方程,把点
,
代入切线
的方程得
,同理可得:
,故
,
为一元二次方程
的两根,再次利用韦达定理得
,
,所以点
到直线
的距离
,所以
,故当
时,
的面积取得最小值,最小值为27.
解:(1)设,抛物线的焦点为F,
则,
又,
抛物线C的方程为:
,
由,两式相减得:
,
直线AB的斜率为﹣1,
圆M方程:化为坐标方程为:
,
直线AB过圆心
,
直线AB的方程为:
,即
;
(2)不妨设,
直线l的方程为,
联立方程,消去y得:
,
,
,
抛物线C的方程为
,
,
抛物线C在
的切线方程为:
,
又点
在切线PN上,
则,即
,
同理可得:,
故为一元二次方程
的两根,
,又
,
,
点N到直线PQ的距离
,
,
当
时,
的面积取得最小值,最小值为27,
面积的取值范围为:
.
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