题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E: (a>b>0),圆O:x2+y2=r2(0<r<b),若圆O的一条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点.
(Ⅰ)当k=﹣ ,r=1时,若点A,B都在坐标轴的正半轴上,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若以AB为直径的圆经过坐标原点O,探究a,b,r之间的等量关系,并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)依题意原点O到切线l:y=﹣ x+m的距离为半径1,∴ m=
切线l:y=﹣ x+ A(0, ),B( ,0)
∴a= ,b= ,∴椭圆E的方程为:
(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),
联立 ,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.


∵以AB为直径的圆经过坐标原点O,∴
(k2+1)x1x2+km(x1+x2)=m2(a2+b2)=(k2+1)a2b2…
又∵圆O的一条切线l:y=kx+m,∴原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径rm2=(1+k2)r2…②
由①②得r2(a2+b2)=a2b2
∴以AB为直径的圆经过坐标原点O,则a,b,r之间的等量关为:r2(a2+b2)=a2b2
【解析】(Ⅰ)依题意原点O到切线l:y=﹣ x+m的距离为半径1,m= A(0, ),B( ,0)代入椭圆方程,求出a、b即可(2)由原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径rm2=(1+k2)r2 . 联立直线方程和与椭圆的方程,利用 求解.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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