题目内容
【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.(2)2.
【解析】
试题分析:(1)设出圆的标准方程,利用圆M过两点C(1,-1)、D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上,建立方程组,即可求圆M的方程;
(2)四边形PAMB的面积为S=2,因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,利用点到直线的距离公式,即可求得结论.
试题解析:
(1) 设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得
解得a=b=1,r=2.
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2) 由题知,四边形PA′MB′的面积为S=S△PA′M+S△PB′M=|A′M||PA′|+
|B′M||PB′|.
又|A′M|=|B′M|=2,|PA′|=|PB′|,
所以S=2|PA′|.
而|PA′|=.
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min=,
所以四边形PA′MB′面积的最小值为S=2=2
=2
.
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