Question

20．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，2a+1]上单调，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，y=f（x）图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件f（0）=f（2）便知f（x）的对称轴为x=1，这样可设出f（x）=a（x-1）²+1，根据f（0）=3便可得出a=2，从而得出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的对称轴为x=1，从而由f（x）在[2a，2a+1]上单调便可得到2a≥1，或2a+1≤1，这样便可得出实数a的取值范围；
（3）根据题意2（x-1）²+1≥2x+2m+1，经整理得到m≤x²-3x+1在[-1，1]上恒成立，从而求函数x²-3x+1在[-1，1]上的最小值便可得到m的取值范围．

解答 解：（1）根据f（0）=f（2）知，f（x）的对称轴为x=1，f（x）的最小值为1；
∴设f（x）=a（x-1）²+1，∴f（0）=a+1=3；
∴a=2；
∴f（x）=2（x-1）²+1；
（2）f（x）在[2a，2a+1]上单调；
∴2a≥1，或2a+1≤1；
∴$a≥\frac{1}{2}$，或a≤0；
∴实数a的取值范围为（-∞，0]$∪[\frac{1}{2}，+∞）$；
（3）根据题意：2（x-1）²+1≥2x+2m+1，即m≤x²-3x+1在x∈[-1，1]上恒成立；
y=x²-3x+1在[-1，1]上单调递减；
∴x=1时，y取最小值-1；
∴m≤-1；
∴m的取值范围为（-∞，-1]．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的最小值，以及二次函数的单调性，根据二次函数的单调性求最值．