Question

12．已知α∈[0，2π），化简$\sqrt{1-2sinαcosα}$+$\sqrt{1+2sinαcosα}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用1=sin²α+cos²α把原式化简，然后讨论α的取值范围求出即可．

解答 解：∵α∈[0，2π），
∴$\sqrt{1-2sinαcosα}$+$\sqrt{1+2sinαcosα}$
=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}+\sqrt{（sinα+cosα）^{2}}$
=|sinα-cosα|+|sinα+cosα|．
当0≤α＜$\frac{π}{4}$时，原式=2cosα；
当$\frac{π}{4}$≤α$≤\frac{3π}{4}$时，原式=2sinα；
当$\frac{3π}{4}$＜α≤π时，原式=-2cosα；
当π＜α≤$\frac{5π}{4}$时，原式=-2cosα；
当$\frac{5π}{4}$$＜α≤\frac{7π}{4}$时，原式=-2sinα；
当$\frac{7π}{4}$＜α＜2π时，原式=2cosα．

点评 考查学生利用同角三角函数基本关系的能力，分类讨论的数学思想，是基础题．