Question

【题目】（1）人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？

（2）有个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？

（3）现有个保送上大学的名额，分配给所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？

Answer 1

【答案】解：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A43＝24(种)．

(2)∵总的排法数为A55＝120(种)，

∴甲在乙的右边的排法数为A55＝60(种)．

(3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有C72×2＝42(种)；

若分配到3所学校有C73＝35(种)．

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．

法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C96＝84种不同方法．

所以名额分配的方法共有84种．

【解析】

试题（1）由题意知有个座位都是空的，我们把个人看成是坐在座位上的人，往个空座的空当插，即可计算结果；（2）可采用间接法，利用人的全排列，则甲在乙的右边的排法数为其中的，即可计算结果；（3）可采用相同元素的隔板法，即可计算结果．

试题解析： （1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，

往5个空座的空当插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有＝24(种)．

（2）∵总的排法数为＝120(种)，

∴甲在乙的右边的排法数为＝60(种)．

（3）方法一：每个学校至少一个名额，

则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有×2＝42(种)；

若分配到3所学校有＝35(种)．

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．

方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，

共有＝84(种)不同方法．

所以名额分配的方法共有84种．