题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)求的单调递增区间;
(2)当的图像刚好与
轴相切时,设函数
,其中
,求证:
存在极小值且该极小值小于
.
【答案】(1)当时,
的单调增区间是
,当
时,
的单调递增区间是
;(2)证明见解析
【解析】
(1)先求导,通过导论参数和
,根据导数值大于零,求出对应增区间即可
(2)当时,
,由(1)知切点即为
,可求出
,求出
,先求导,再根据导数值正负进一步判断函数增减性,确定极值点,求证在该极值点处函数值小于
即可
解:(1),
,
当时,
,
的单调增区间是
;
当时,由
可得
,
综上所述,当时,
的单调增区间是
,当
时,
的单调递增区间是
.
(2)易知切点为,
由得
,
,
所以
设,
则在
上是增函数,
,
当时,
,
所以在区间
内存在唯一零点
,
即.
当时,
;当
时,
;
当时,
,
所以存在极小值
.
又,则
,故
,
故存在极小值且该极小值小于
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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