题目内容
【题目】(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，
所以A1D＝CD＝
AB＝
，在Rt△AA1D中，AA1＝
，所以FC＝
AA1＝
，故三棱锥F－AEC的体积V＝
S△AEC×FC＝
.
练习册系列答案
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图．
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
.
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．
（参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5）
