题目内容
【题目】已知真命题:“函数
的图象关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”．
（Ⅰ）将函数
的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数
图象对称中心的坐标;
（Ⅱ）求函数
图象对称中心的坐标;
（Ⅲ）已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数
和
,使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题（不必证明）．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）此命题是假命题
【解析】
试题（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，由于函数y=x3-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设
的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．
试题解析：（Ⅰ）平移后图象对应的函数解析式为
,整理得
,
由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数
图象对称中心的坐标是．
（Ⅱ）设的对称中心为
,由题设知函数
是奇函数．
设
,则
,即
由不等式
的解集关于原点对称,则
,得
．
此时
．
任取
,由
,得
,
所以函数图象对称中心的坐标是．
（Ⅲ）此命题是假命题．
举反例说明:函数
的图象关于直线
成轴对称图象,
但是对任意实数
和
,函数
,即
总不是偶函数．
修改后的真命题:“函数
的图象关于直线
成轴对称图象”的充要条件是“函数
是偶函数”．
【题目】某精密仪器生产厂准备购买
，
，
三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数 | 5 | 6 | 7 | |
频数 |
| 60 | 60 | 0 |
| 30 | 60 | 30 | |
| 0 | 80 | 40 | |
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
（Ⅰ）求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
（Ⅱ）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
