题目内容
【题目】已知椭圆
（
），点
为椭圆短轴的上端点，
为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知
.
（1）若
，判断椭圆
是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求
的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，
为关于原点
的对称点，也异于点，直线
、
分别与
轴交于
、
两点，试问以线段
为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
【答案】（1）是；（2）
；（3）是，证明见解析.
【解析】
（1）直接判断即可，
（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；
（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，
2
）．
（1）由题意得椭圆方程：
1，所以A（0，2），
设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5（1
）+（y﹣2）2
y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，
所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）由（1）的方法：椭圆方程：
1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2（1）+（y﹣2）2＝（
1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，
当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，
讨论：①当开口向上时，满足：
﹣2＜a＜2（与
矛盾，舍）；
②当开口向下时，满足
2＜a≤2，
综上a的范围：（2，2]．
（3）a＝2，椭圆方程：
cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且
，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y
x+2M（
，0）
则直线AQ：y
2N（
，0），
MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且
0，
∴
,
（
n），∴
,
所以得定点（0，2）．
