题目内容
【题目】已知函数
，且
在
处的切线方程为
．
（1）求
的值；
（2）设
，若对任意的
，
,求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义，结合切线的方程，可以得到两个方程，解方程组即可求出
的值；
（2）对任意的
，
,等价于
在
上的最小值不小于
的最大值，利用导数进行分类求解即可.
（1）
，在
处的切线方程为
，所以有：
；
（2）由（1）可知：
显然当
时，
，函数单调递减，当
时，
，函数单调递增，故函数在上的最小值为：
.
.
当
时，函数的最大值为：
，于是由
可得：
，而，所以
；
当
时，函数的最大值为：
，于是由
可得：
c无解；
当
时，
若
时，即
时，，于是由
可得：，因此；
若
时，即
时，函数的最大值为：
，于是由可得：
，综上所述：实数
的取值范围为：.
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