题目内容
【题目】如图,平面
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为
,求线段
的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行;
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程,解方程可得CF的长度.
依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),
可得.
设,则
.
(Ⅰ)依题意,是平面ADE的法向量,
又,可得
,
又因为直线平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)依题意,,
设为平面BDE的法向量,
则,即
,
不妨令z=1,可得,
因此有.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量,则
,即
.
不妨令y=1,可得.
由题意,有,解得
.
经检验,符合题意
所以,线段的长为
.
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