题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是
,单调递增区间是
.(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)函数求导,定义域为
,由
,可得
或
进而讨论导函数的正负得函数单调性即可;
(Ⅱ)若恒成立,只需
即可,讨论函数单调性求最值即可.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
由,可得
或
,
当时,
在
上恒成立,
所以的单调递增区间是
,没有单调递减区间;
当时,
的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
当时,
的变化情况如下表:
所以的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,
,符合题意.
当时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
所以恒成立等价于
,即
,
所以,所以
.
当时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
所以恒成立等价于
,即
.
所以,所以
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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