题目内容
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,
为坐标原点,点
到直线
的距离为
,
为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)利用表示出点
到直线
的距离;再利用
和
的关系得到方程,求解得到标准方程;(2)当直线
斜率存在时,假设直线方程,利用斜率之和为
得到
与
的关系,将直线方程化为
,从而得到定点;当斜率不存在时,发现直线也过该定点,从而求得结果.
(1)解:由题意可知:直线的方程为
,即
则
因为为等腰直角三角形,所以
又
可解得,
,
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:由(1)知
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
代入,得
所以,即
设,
,则
,
因为直线与直线
的斜率之和为
所以
整理得
所以直线的方程为
显然直线经过定点
当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
因为直线与直线的斜率之和为
,设
,则
所以,解得
此时直线的方程为
显然直线也经过该定点
综上,直线恒过点
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目