题目内容

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,下顶点为为坐标原点,点到直线的距离为为等腰直角三角形.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线与椭圆交于两点,若直线与直线的斜率之和为,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.

【答案】(1);(2)见解析

【解析】

(1)利用表示出点到直线的距离;再利用的关系得到方程,求解得到标准方程;(2)当直线斜率存在时,假设直线方程,利用斜率之和为得到的关系,将直线方程化为,从而得到定点;当斜率不存在时,发现直线也过该定点,从而求得结果.

(1)解:由题意可知:直线的方程为,即

因为为等腰直角三角形,所以

可解得

所以椭圆的标准方程为

(2)证明:由(1)知

当直线的斜率存在时,设直线的方程为

代入,得

所以,即

,则

因为直线与直线的斜率之和为

所以

整理得

所以直线的方程为

显然直线经过定点

当直线的斜率不存在时,设直线的方程为

因为直线与直线的斜率之和为,设,则

所以,解得

此时直线的方程为

显然直线也经过该定点

综上,直线恒过点

练习册系列答案
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【题目】在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019816日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称国贸中心)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.

第一小组采用的是两次测角法:他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为,正对国贸中心前进了米后,到达点,在点测得国贸中心顶部的仰角为,然后计算出国贸中心的高度(如图).

第二小组采用的是镜面反射法:在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为米;②正对国贸中心,将镜子前移米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为.然后计算出国贸中心的高度(如图).

实际操作中,第一小组测得米,,最终算得国贸中心高度为;第二小组测得米,米,米,最终算得国贸中心高度为;假设他们测量者的眼高都为.

1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:,答案保留整数结果);

2)你认为哪个小组的方案更好,说出你的理由.

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