题目内容
【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:设出,由直线
的斜率为
求得
,结合离心率求得
,再由隐含条件求得
,即可求椭圆方程;(2)点
轴时,不合题意;当直线
斜率存在时,设直线
,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得
的范围,再由弦长公式求得
,由点到直线的距离公式求得
到
的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出
值,则直线方程可求.
试题解析:(1)设,因为直线
的斜率为
,
所以,
.
又
解得,
所以椭圆的方程为
.
(2)解:设
由题意可设直线的方程为:
,
联立消去
得
,
当,所以
,即
或
时
.
所以
点到直线
的距离
所以,
设,则
,
,
当且仅当,即
,
解得时取等号,
满足
所以的面积最大时直线
的方程为:
或
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目