题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆两焦点坐标为,
,椭圆
上的点到右焦点距离最小值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率为-2的直线交曲线于
、
两点,求线段
的中点
的轨迹方程;
(3)设经过点的直线与曲线
相交所得的弦为线段
,求
的面积的最大值(
是坐标原点).
【答案】(1) ;(2)
,
;(3)
【解析】
(1)根据题意得到,
,计算得到答案.
(2))设,
,
,设直线方程为
,联立方程得到
,
,得到轨迹方程.
(3)设直线的方程是:
,代入方程得到
,根据韦达定理得到
,
得到
,计算得到面积最值.
(1)椭圆的焦点为,
,
,
由.
,则
,故曲线
的方程为
.
(2)设,
,
,设直线方程为
,
,
,
,
∴
,
,则
,则
,
∴线段的中点
的轨迹方程是:
,
,
(3)设直线的方程是:
,
,
代入得
.
设,
,
,
,
则,
令,
,
当,即
时∴
,
的面积的最大值为
.
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