题目内容
18.已知x2+2a×log2(x2+2)+a2-3=0有唯一解,求a的值.分析 构造函数 f(x)=x2+2a×log2(x2+2)+a2-3,根据函数的奇偶性得到函数f(x)为偶函数,因此图象关于 y 轴对称,则f(0)=0,解得 a=1 或 a=-3.进行验证即可.
解答 解:构造函数 f(x)=x2+2a×log2(x2+2)+a2-3,
可得它在 R 上为偶函数,
因此图象关于 y 轴对称.
因为 f(x)=0 有唯一解,因此这个解一定是 x=0,
即 f(0)=0,即 f(0)=2a+a2-3=(a-1)(a+3)=0.
解得 a=1或a=-3.
①当 a=1 时,f(x)=x2+2×log2(x2+2)-2≥0+2log22-2=0,当且仅当x=0时取等号,
因此关于x的方程x2+2a×log2(x2+2)+a2-3=0有唯一解 x=0.
②当a=-3 时,f(x)=${x}^{2}-6lo{g}_{2}({x}^{2}+2)+6$,
因为f(0)=0,f($\sqrt{30}$)=30-6×5+6=6>0,f($\sqrt{14}$)=14-6×4+6=-4<0,
故函数f(x)在区间($\sqrt{14}$,$\sqrt{30}$)之间有零点.
再根据f(x)为偶函数,可得函数在区间(-$\sqrt{30}$,-$\sqrt{14}$)之间有零点,
因此 f(x)=0 至少有三个根,不满足题意,故把 a=-3舍去.
所以,若方程有唯一解,则 a=1.
点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,函数的奇偶性的性质应用,注意排除a=-3,这是解题的难点.
练习册系列答案
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10.已知函数f(x)=ex,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )
A. | e${\;}^{{x}_{1}}$>$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$ | B. | e${\;}^{{x}_{1}}$<$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$ | ||
C. | e${\;}^{{x}_{2}}$>$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$ | D. | e${\;}^{{x}_{2}}$<$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$ |
8.下列命题中,为真命题的是( )
A. | 已知复数z=a+bi,a,b∈R,若|z|=b,则z是纯虚数 | |
B. | 若复数a+bi(a,b∈R)是某方程的根,则a-bi也一定是此方程的根 | |
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