Question

13．已知x、y满足x²+y²=3，求$\frac{y+1}{x+3}$及2x+y的范围．

Answer 1

分析 设$\frac{y+1}{x+3}$=t，则y=tx+3t-1，代入x²+y²=3，根据判别式，即可求出$\frac{y+1}{x+3}$的取值范围．再根据圆的参数方程，设x=$\sqrt{3}$cosθ，则y=$\sqrt{3}$sinθ，利用辅助角公式得到b=2x+y=$\sqrt{15}$sin（θ+β）（β是满足sinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$的锐角），结合三角函数的图象与性质可求出b=2x+y的取值范围．

解答 解：设$\frac{y+1}{x+3}$=t，则y=tx+3t-1，
代入x²+y²=3，可得（1+t²）x²+2t（3t-1）x+9t²-6t-2=0，
∴△=[2t（3t-1）]²-4（1+t²）（9t²-6t-2）≥0，
∴$\frac{3-\sqrt{21}}{6}$≤t≤$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$．
设x=$\sqrt{3}$cosθ，则y=$\sqrt{3}$sinθ
∴b=2x+y=2$\sqrt{3}$cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=$\sqrt{15}$sin（θ+β）（β是满足sinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$的锐角），
∴b=2x+y的取值范围为[-$\sqrt{15}$，$\sqrt{15}$]．

点评 本题着重考查了直线的斜率、圆的方程、直线与圆的位置关系、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．