题目内容
16.设关于x的方程x2-2ax+a2-2a-3=0,试分别探究满足下列条件的实数a的取值范围.(1)方程有实根;
(2)方程有两正根;
(3)方程有一正一负根;
(4)两根均大于0且小于1.
分析 (1)方程有实根,△≥0;
(2)方程有两正根,△≥0,且对称轴>0,两根积为正数;
(3)方程有两不同根,△>0,且两根积为负数;
(4)方程有两根,△≥0,且f(0)>0,f(1)>0.
解答 (1)由题意,△=(-2a)2-4×1×(a2-2a-3)≥0,
解得a≥-$\frac{3}{2}$
(2)由题意,△=(-2a)2-4×1×(a2-2a-3)≥0,
且$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-2a}{2}>0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}>0}\end{array}\right.$,
解得a>3.
(3)由题意,△=(-2a)2-4×1×(a2-2a-3)>0,
且${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}<0$,解得-1<a<3.
(4)由题意,$\left\{\begin{array}{l}{△=(-2a)^{2}-4×1×({a}^{2}-2a-3)>0}\\{f(0)={a}^{2}-2a-3>0}\\{f(1)={a}^{2}-4a-2>0}\end{array}\right.$,
且有$0<x=-\frac{-2a}{2}<1$,即0<a<1
此时解得a是没有实数解的.
点评 解决此类问题时,要找到两根与系数的关系,同时不能漏掉题目隐含条件,以免出错.
练习册系列答案
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