Question

11．如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=$\frac{π}{2}$，且AB=BC=2CD=2．
（1）在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE？
（2）求线段AB上是否存在点M，使得点B到面CEM的距离等于1？如果不存在，请说明理由由．

Answer 1

分析 （1）可分别取线段BE，AB的中点为F，G，连接CF，FG，CG，可以证明FG∥平面ADE，CG∥平面ADE，从而得出平面CFG∥平面ADE，这便可得出CF∥平面ADE；
（2）可分别以BE，BC，BA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，这样即可确定点B，C，E的坐标，可过B作BB′⊥平CEM，垂足为B′，并设B′（x，y，z），这样根据$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{EB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{CB′}$，以及$|\overrightarrow{BB′}|=1$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，这样解出x，y，z，从而得到$\overrightarrow{BB′}$的坐标，可设在线段AB上存在M，使得点B到面CEM的距离等于1，从而根据$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{MB′}$，便得到$\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{MB′}=0$，这样即可求出m，也就找到了满足条件的M．

解答 解：（1）在线段BE上存在点F为BE的中点，使CF∥平面ADE，证明如下：
如图，取BE中点F，AB的中点G，连接CF，FG，CG，则：
FG∥AE，AE?平面ADE，FG?平面ADE；
∴FG∥平面ADE；
同理，CD∥AB，G为AB中点；
∴CG∥AD；
∴CG∥平面ADE，FG∩CG=G；
∴平面CFG∥平面ADE，CF?平面CFG；
∴CF∥平面ADE；
（2）根据条件知BE，BC，BA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：
B（0，0，0），C（0，2，0），E（2，0，0）；
假设在线段AB存在点M，使得点B到面CEM的距离等于1，设M（0，0，m），0≤m≤2；
过B作BB′⊥平面CEM，垂足为B′，设B′（x，y，z）则：$\overrightarrow{BB′}=（x，y，z），\overrightarrow{CB′}=（x，y-2，z）$，$\overrightarrow{EB′}=（x-2，y，z）$，$\overrightarrow{MB′}=（x，y，z-m）$；
且$\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{CB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{EB′}，\overrightarrow{BB′}⊥\overrightarrow{MB′}$；
又$|\overrightarrow{BB′}|=1$；
∴得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{CB′}={x}^{2}+{y}^{2}-2y+{z}^{2}=0}\\{\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{EB′}={x}^{2}-2x+{y}^{2}+{z}^{2}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$；
解得$x=\frac{1}{2}，y=\frac{1}{2}，z=\frac{1}{\sqrt{2}}$；
∴$B′（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}）$；
∴$\overrightarrow{BB′}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}），\overrightarrow{MB′}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{\sqrt{2}}-m）$；
∴$\overrightarrow{BB′}•\overrightarrow{B′M}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{m}{\sqrt{2}}=0$；
∴$m=\sqrt{2}$；
∴在线段AB上存在点M，$BM=\sqrt{2}$时，点B到面CEM的距离等于1．

点评 考查三角形中位线的性质，平行四边形的定义，以及线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何问题的方法，线面垂直的定义，两向量垂直的充要条件．