题目内容
8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2 | C． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | D． | $\sqrt{6}$ |
分析 设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t-2a，|PF2|=t，|PF1|=t+2a，再由勾股定理，求得t=3a，及a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求．
解答 
解：设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t-2a，
|PF2|=t，|PF1|=t+2a，
由MF1⊥MF2，可得|MF1|2+|MP|2=|PF1|2，
即t2+（2t-2a）2=（t+2a）2，
解得t=3a，
又|MF1|2+|MF2|2=|F2F1|2，
即为（3a）2+a2=4c2，
即为c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意两次运用勾股定理，属于中档题．
练习册系列答案
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