题目内容
【题目】已知函数,的图象与直线分别交于、两点,则( )
A.的最小值为
B.使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C.函数至少存在一个零点
D.使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【答案】ABD
【解析】
求出、两点的坐标,得出关于的函数表达式,利用导数求出的最小值,即可判断出A选项的正误;解方程,可判断出B选项的正误;利用导数判断函数的单调性,结合极值的符号可判断出C选项的正误;设切线与曲线相切于点,求出两切线的方程,得出方程组,判断方程组是否有公共解,即可判断出D选项的正误.进而得出结论.
令,得,令,得,
则点、,如下图所示:
由图象可知,,其中,
令,则,则函数单调递增,且,当时,,当时,.
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,,A选项正确;
,,则,,
曲线在点处的切线斜率为,
曲线在点处的切线斜率为,
令,即,即,
则满足方程,所以,使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线,B选项正确;
构造函数,可得,
函数在上为增函数,由于,,
则存在,使得,可得,
当时,;当时,.
,
所以,函数没有零点,C选项错误;
设曲线在点处的切线与曲线相切于点,
则曲线在点处的切线方程为,即,
同理可得曲线在点处的切线方程为,
所以,,消去得,
令,则,
函数在上为减函数,,,
则存在,使得,且.
当时,,当时,.
所以,函数在上为减函数,,,
由零点存在定理知,函数在上有零点,
即方程有解.
所以,使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.
故选:ABD.
【题目】中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中寸表示115寸分(1寸=10分).
节气 | 冬至 | 小寒(大雪) | 大寒(小雪) | 立春(立冬) | 雨水(霜降) |
晷影长(寸) | 135 | ||||
节气 | 惊蛰(寒露) | 春分(秋分) | 清明(白露) | 谷雨(处暑) | 立夏(立秋) |
晷影长(寸) | 75.5 | ||||
节气 | 小满(大暑) | 芒种(小暑) | 夏至 | ||
晷影长(寸) | 16.0 |
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,春分晷影长为72.4寸,那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为( )
A. 14.8寸B. 15.8寸C. 16.0寸D. 18.4寸