题目内容
【题目】已知函数
(1)若a=1,求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值(2)
【解析】分析:(1)求出导数,由不等式确定增区间,由确定减区间,从而得极值;
(2)问题等价于,因此用导数研究函数的最小值,由最小值小于0可求得的范围,注意要分类讨论.
详解:(1)a=1时,f(x)=x﹣lnx,函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=1﹣=,令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值;
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,等价于[f(x)﹣g(x)]min<0,
(x∈[1,e])成立,设h(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣alnx+,
则h′(x)=,令h′(x)=0,解得:x=﹣1(舍),x=1+a;
①当1+a≥e,h(x)在[1,e]递减,∴h(x)min=h(e)=e2﹣ea+1+a,
令h(x)min<0,解得:a>;
②当1+a<e时,h(x)在(1,a+1)递减,在(a+1,e)递增,
∴h(x)min=h(1+a)=a[1﹣ln(a+1)]+2>2与h(x)min<0矛盾,
综上,a>.
【题目】随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)确定样本频率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.