Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

Answer 1

分析 由双曲线的方程求出c和离心率，再由题意列出方程组求出a和b，代入椭圆的标准方程即可．

解答 解：由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得c²=1+2=3，
则焦点坐标是（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且离心率e=$\sqrt{3}$，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+3}\\{\frac{\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3、b²=6，
所以椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单的几何性质，以及待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题．