题目内容
2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），焦距为2$\sqrt{6}$．（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l平行于OM，且与椭圆 E交于A、B两个不同的点（与M不重合），连接 MA、MB，MA、MB所在直线分别与x轴交于P、Q两点，设P、Q两点的横坐标分别为s，t，探求s+t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
分析 （1）通过将点M（2，1）代入椭圆方程，利用椭圆E的焦距为2$\sqrt{6}$，计算即得结论；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），通过将直线l方程代入椭圆E的方程，利用韦达定理可得s、t的表达式，计算即得结论．
解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
又∵椭圆E的焦距为2$\sqrt{6}$，
∴2c=2$\sqrt{6}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）结论：s+t为定值4．
理由如下：
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m（m≠0），
将直线l方程代入椭圆E的方程，消去y整理可得：
x2+2mx+2m2-4=0，
由韦达定理可得：x1+x2=-2m，x1•x2=2m2-4，
由题可知MA、MB的斜率一定存在且不为0，设为k1、k2，
则直线MA的方程为：y-1=k1（x-2），
∴s=2-$\frac{1}{{k}_{1}}$，同理可得t=2-$\frac{1}{{k}_{2}}$，
∴s+t=4-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$，
又∵k1+k2=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{2}-2）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=0，
∴s+t=4为定值．
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的上顶点为A，直线l：y=kx+m交椭圆P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．
如图：已知方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的椭圆，A，B为顶点，过右焦点的弦MN的长度为y，中心O到弦MN的距离为d，点M从右顶点A开始按逆时针方向在椭圆上移动到B停止，当0°≤∠MFA≤90°时，记x=d，当90°＜∠MFA≤180°，记x=2$\sqrt{2}$-d，函数y=f（x）图象是（ ）
如图，设过点N（1，0）的动直线l交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于A，B两点，且|AB|的最大值为4，椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．