题目内容

12.已知点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)上,F1,F2是这条双曲线上的两个焦点,$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0,且△F1PF2的三条边的长度成等差数列,则此双曲线的离心率的值为5.

分析 设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a,c=$\frac{5}{2}$d,由此求得离心率的值.

解答 解:设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d,m,m+d,
则由双曲线定义和勾股定理可知:m-(m-d)=2a,m+d=2c,(m-d)2+m2=(m+d)2
解得m=4d=8a,c=$\frac{5}{2}$d,故离心率e=$\frac{c}{a}$=5,
故答案为:5.

点评 本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.

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