题目内容
【题目】(文科学生做)已知数列满足
.
(1)求,
,
的值,猜想并证明
的单调性;
(2)请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】(1) ,猜想该数列为单调递减数列,证明见解析.
(2)见解析.
【解析】分析:(1)由题可直接计算,
,
的值,根据数值的增减性可猜想单调性;(2)反证法证明,先假设结论的反面成立,然后根据假设结合题设找出矛盾即可得原命题正确.
详解:
(1)计算得,猜想该数列为单调递减数列.
下面给出证明:,
因为,故
,所以
恒成立,即数列为单调递减数列.
(2)假设中存在三项成等差数列,不妨设为
这三项,
由(1)证得数列为单调递减数列,则
,即
,
两边同时乘以,则等式可以化为
,(※)
因为,所以
均为正整数,故
与
为偶数,
而为奇数,因此等式(※)两边的奇偶性不同,故等式(※)不可能成立,
所以假设不成立,故数列中任意三项都不能构成等差数列.
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