题目内容
【题目】现有 (n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵:
设Mk是第k行中的最大数,其中1≤k≤n,k∈N*.记M1<M2<…<Mn的概率为pn .
(1)求p2的值;
(2)证明:pn> .
【答案】
(1)解:由题意知p2= =
,即p2的值为
(2)解:先排第n行,则最大数在第n行的概率为 =
;
去掉第n行已经排好的n个数,
则余下的 ﹣n=
个数中最大数在第n﹣1行的概率为
=
;
…
故pn= ×
×…×
=
=
.
由于2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2>Cn1+Cn2=Cn+12,
故 >
,即pn>
【解析】(1)由题意知p2= =
,(2)先排第n行,则最大数在第n行的概率为
=
,即可求出为pn , 再根据二项式定理和放缩法即可证明.
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