题目内容
【题目】如图是一个路灯的平面设计示意图,其中曲线段AOB可视为抛物线的一部分,坐标原点O为抛物线的顶点,抛物线的对称轴为y轴,灯杆BC可视为线段,其所在直线与曲线AOB所在的抛物线相切于点B.已知AB=2分米,直线轴,点C到直线AB的距离为8分米.灯杆BC部分的造价为10元/分米;若顶点O到直线AB的距离为t分米,则曲线段AOB部分的造价为
元. 设直线BC的倾斜角为,以上两部分的总造价为S元.
(1)①求t关于的函数关系式;
②求S关于的函数关系式;
(2)求总造价S的最小值.
【答案】(1) ① .②
.
(2) 元.
【解析】分析:(1)①先设曲线段所在的抛物线的方程为
,代入点B可得a的值,然后求出切线BC的斜率,转化为倾斜角从建立t与
的等式关系;②根据t与
的关系得出曲线段
部分的造价为
元,然后求出BC段的造价,故
两段的造价之和;(2)由S的表达式根据导数确定函数的单调性,即可求得最小值.
详解:
(1)①设曲线段所在的抛物线的方程为
,将
代入
得
,故抛物线的方程为
,求导得
,故切线
的斜率为
,而直线
的倾斜角为,故
,t关于的函数关系为
.
②因为,所以曲线段
部分的造价为
元,
因为点到直线
的距离为8分米,直线
的倾斜角为,故
,
部分的造价为
,
得两部分的总造价为,
.
(2),
,
其中恒成立,令
得
,设
且
为锐角,
列表如下:
0 | |||
极小 |
故当时
有最小值,此时
,
,
,
故总造价S的最小值为元.
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