Question

6．如果（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ（a＞0）的展开式中各二项式项系数之和为256，系数和也是256
（1）求a、n的值；
（2）求展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值，再根据各项的系数和为（3-a）⁸=256求得a的值．
（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-2，求得r的值，可得展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数．
（3）由二项式系数的性质，结合通项公式，可得展开式中二项式系数最大的项．

解答 解：（1）由于（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ（a＞0）的展开式中各二项式项系数之和为2ⁿ=256，
∴n=8，
再令x=1，可得（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸（a＞0）的展开式中各项的系数和为（3-a）⁸=256，求得 a=1．
（2）（3x-$\frac{a}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸=）（3x-$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）⁸ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（3）^8-r•（-1）^r•${x}^{8-\frac{5}{3}r}$，
令8-$\frac{5}{3}r$=-2，求得r=6，可得展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为 ${C}_{8}^{6}$•9=252．
（3）由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项为${C}_{8}^{4}$•81•${x}^{-\frac{8}{3}}$=5670•${x}^{-\frac{8}{3}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．