题目内容

17.若x∈[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$],则y=tan(x+$\frac{2π}{3}$)-tan(x+$\frac{π}{6}$)+cos(x+$\frac{π}{6}$)的最大值是$\frac{11\sqrt{3}}{6}$.

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用三角函数的单调性求出函数f(x)的最大值.

解答 解:y=tan(x+$\frac{2π}{3}$)-tan(x+$\frac{π}{6}$)+cos(x+$\frac{π}{6}$)=-cot(x+$\frac{π}{6}$)-tan(x+$\frac{π}{6}$)+cos(x+$\frac{π}{6}$)
=-$\frac{cos(x+\frac{π}{6})}{sin(x+\frac{π}{6})}$-$\frac{sin(x+\frac{π}{6})}{cos(x+\frac{π}{6})}$+cos(x+$\frac{π}{6}$)=-$\frac{{cos}^{2}(x+\frac{π}{6}{)+sin}^{2}(x+\frac{π}{6})}{sin(x+\frac{π}{6})cos(x+\frac{π}{6})}$+cos(x+$\frac{π}{6}$)=$\frac{-2}{sin(2x+\frac{π}{3})}$+cos(x+$\frac{π}{6}$) 
=$\frac{2}{sin(2x+\frac{4π}{3})}$+cos(x+$\frac{π}{6}$).
由x∈[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$],可得x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{4}$,-$\frac{π}{6}$],故cos(x+$\frac{π}{6}$)在[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$]上是增函数.
由x∈[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$],可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$,-$\frac{π}{3}$],故 $\frac{2}{sin(2x+\frac{4π}{3})}$在[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$]上也是增函数,
故原函数在[-$\frac{5π}{12}$,-$\frac{π}{3}$]上是增函数,故当x=-$\frac{π}{3}$时,函数y取得最大值为$\frac{11\sqrt{3}}{6}$,
故答案为:$\frac{11\sqrt{3}}{6}$.

点评 本题主要考查三角恒等变换,利用三角函数的单调性求函数的最值,属于中档题.

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