Question

14．已知O为△ABC的外接圆圆心，AB=2a，AC=$\frac{2}{a}$，∠BAC=120°，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则3x+6y的最小值为6+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分别为D，E，则D，E分别为弦AB，AC的中点．由于AB=2a，AC=$\frac{2}{a}$，∠BAC=120°，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-2．由于$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$，化为a²=2a²x-2y．同理由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$可得：1=-a²x+2y，联立解出x，y，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分别为D，E，
则D，E分别为弦AB，AC的中点．
∵AB=2a，AC=$\frac{2}{a}$，∠BAC=120°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$|2a|•|\frac{2}{a}|cos12{0}^{°}$=-2，
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$-2y，
∴$\frac{1}{2}（2a）^{2}=x（2a）^{2}$-2y，
化为a²=2a²x-y．
同理由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$可得：1=-a²x+2y，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}x-y={a}^{2}}\\{{a}^{2}x-2y=-1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2{a}^{2}+1}{3{a}^{2}}$，y=$\frac{{a}^{2}+2}{3}$．
∴3x+6y=$\frac{2{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$+2a²+4=6+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2a²≥6+2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•2{a}^{2}}$=6+2$\sqrt{2}$，当且仅当a²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴3x+6y的最小值为为6+2$\sqrt{2}$．
故答案为：6+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．